Esercizi - 3.1
Esercizio n. 3.1.1
La Fintus produce tre tipi diversi di patatine surgelate denominati A B
e C. La compagnia acquista patate da due fornitori (1 e 2). Il rendimento per
unità di peso delle patate dei fornitori è indicato nella seguente
tabella:
| fornitore \ tipo |
|
A |
B |
C |
| 1 |
|
.2 |
.2 |
.3 |
| 2 |
|
.3 |
.1 |
.3 |
Il costo per la Fintus è di 50 lire al kg per le patate fornite da 1 e
di 60 lire al kg per quelle fornite da 2. La Fintus intende produrre non meno
di 6 000 kg di A, 4 000 kg di B e 8 000 kg di C, minimizzando il costo.
Proporre un modello matematico per il problema.
Esercizio n. 3.1.2
Una dieta prescrive le quantità minime di calorie (2000 cal.), proteine
(50 g.) e calcio (700 mg.) che devono essere assunte giornalmente per
mantenersi in buona salute. Per soddisfare tali bisogni, si possono acquisire
porzioni di cinque alimenti base: Pane, Latte, Uova, Carne e Dolce. Dalle
tabelle fornite con la dieta, si ricavano le quantità di calorie,
proteine e calcio (nelle unità opportune) contenute in una porzione di
ogni tipo di cibo: la porzione è considerata suddivisibile.
|
Pane |
Latte |
Uova |
Carne |
Dolce |
| calorie |
110 |
160 |
180 |
260 |
420 |
| proteine |
4 |
8 |
13 |
14 |
4 |
| calcio |
2 |
285 |
54 |
80 |
22 |
Ogni tipo di cibo ha un diverso costo per porzione (in migliaia di lire) ed un
numero massimo di porzioni che possono essere assunte giornalmente, dati dalla
seguente tabella: formulare il problema di determinare una dieta ammissibile
di costo minimo.
|
Pane |
Latte |
Uova |
Carne |
Dolce |
| costo |
2 |
3 |
4 |
19 |
20 |
| n. max |
4 |
8 |
3 |
2 |
2 |
Esercizio n. 3.1.3
La Burino Bianco, industria dolciaria, produce sette tipi diversi di biscotti
denominati B1, B2 ... B7. La divisione marketing stabilisce di mese in mese
quante unità di ciascun tipo da produrre, lasciando alla divisione
produzione le decisioni operative. La ditta dispone di due linee di produzione
identiche, che possono realizzare indifferentemente ciascun tipo di biscotto:
per ragioni tecniche, è peró necessario che tutta la quantità
richiesta di ogni tipo sia prodotta consecutivamente e dalla stessa linea.
Il tempo (in giorni) necessario a produrre la quantità richiesta di ogni
tipo di biscotto per il mese corrente è dato nella tabella seguente: si
formuli il problema di decidere che cosa devono produrre le due diverse
macchine in modo da minimizzare il tempo totale di completamento, cioé
il numero di giorni in cui almeno una delle macchine è in funzione.
|
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
B7 |
| giorni |
7 |
10 |
8 |
4 |
12 |
9 |
5 |
Esercizio n. 3.1.4
Si determinino i duali dei seguenti problemi di Programmazione Lineare:
| P1) min |
x1 |
+ 2 x2 |
|
|
|
|
x1 |
+ 4 x2 |
+ x3 |
= |
5 |
|
|
x2 |
|
>= |
4 |
|
2 x1 |
|
- 3 x3 |
<= |
-1 |
|
|
|
x1 |
>= |
0 |
| P2) min |
2 x1 |
|
- 3 x3 |
- x4 |
|
|
|
|
x2 |
- 2 x3 |
|
>= |
1 |
|
x1 |
|
+ x3 |
- 3 x4 |
<= |
-2 |
|
|
- x2 |
+ 2 x3 |
|
<= |
-1 |
|
- x1 |
- 2 x2 |
|
- 2 x4 |
>= |
3 |
|
x1 |
+ x2 |
|
|
= |
2 |
|
|
|
|
x3, x4 |
<= |
0 |
|
|
|
|
x1 |
>= |
0 |
Esercizio n. 3.1.5
Si trasformi il problema P1) dell'Esercizio n. 3.1.4 nella forma
minimo, vincoli di maggiore o uguale e variabili non vincolate
ed il problema P2) dell'Esercizio n.4 nella forma
massimo, vincoli di eguaglianza e variabili nonnegative.
Si determinino poi i duali dei problemi di PL così ottenuti.
Esercizio n. 3.1.6
Tre cooperative agricole, A, B, e C, decidono di coordinare la loro produzione
in modo da massimizzare il profitto, rispettando i vincoli imposti dall'Ente
Governativo per lo Sviluppo Agricolo (EGSA). La seguente tabella fornisce la
quantità di terra e l'acqua per irrigazione disponibili presso ciascuna
cooperativa:
| Cooperative |
Terra coltivabile
(ettari) |
Acqua disponibile
(centimetri-ettaro) |
| A |
250 |
7000 |
| B |
200 |
9500 |
| C |
130 |
4500 |
I tipi di colture che la EGSA ha deciso per la zona in cui operano le
cooperative sono barbabietola da zucchero, cotone e sorgo. La seguente tabella
fornisce, per ciascun tipo di coltivazione il massimo numero di ettari
coltivabile (sulla base delle indicazioni della EGSA), l'irrigazione richiesta
ed il profitto netto:
| Coltivazioni |
Quota massima
(ettari) |
Acqua necessaria
(centimetri-ettaro per ettaro) |
Profitto netto
(dollari per ettaro) |
| barbabietola |
260 |
36 |
980 |
| cotone |
220 |
24 |
750 |
| sorgo |
150 |
12 |
250 |
Le cooperative si sono accordate sul fatto che la proporzione di terra
coltivata per ciascuna di esse deve essere uguale.
Formulare il problema come problema di Programmazione Lineare, scrivendone sia
il Primale che il Duale. Determinare poi una soluzione ottima sia per il
primale che per il duale.
Esercizio n. 3.1.7
Determinare una decomposizione minimale del poliedro P individuato
dai seguenti vincoli:
|
5 x1 |
+2 x2 |
>= |
10 |
|
3 x1 |
+7 x2 |
>= |
21 |
|
x2 |
-2 x1 |
<= |
2 |
|
x2 |
>= |
2 |