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\pagestyle{myheadings}

\begin{document}

\noindent
Un impresario edile decide di costruire un villaggio residenziale
composto da $n$ palazzine, la cui altezza pu\`o variare nell'insieme
$\{h_{1},h_{2},\ldots, h_{k}\}$.  Il costo di costruzione di una
palazzina dipende dalla sua altezza: vale $c_{j}$ nel caso di una
palazzina di altezza $h_{j}$, $j=1,\ldots,k$.  In base alle normative
urbanistiche vigenti, il dislivello tra la palazzina pi\`u alta e
quella pi\`u bassa non deve eccedere una soglia data $\epsilon$.

Sapendo che la palazzina $i$, se costruita di altezza $h_{j}$, potr\`a ospitare $a_{ij}$
famiglie, $i=1,\ldots,n, \ \ j=1,\ldots,k$, si formuli in termini di P.L.I.  il problema
di costruire a costo minimo il quartiere in modo che esso sia in grado
di ospitare almeno $\delta$ famiglie.

\hfill

\noindent {\bf SVOLGIMENTO}

\hfill 

\noindent
Introduciamo le seguenti $nk$ variabili logiche:
%
\[
y_{ij} = \left\{
   \begin{array}{ll}
    1, & \mbox{se viene
%scelta l'altezza $h_{j}$} \mbox{ per costruire la
    palazzina } i,
%\\
    0, & \mbox{altrimenti,}
   \end{array}\right. \quad \quad i
%= 1, \ldots , n,  \quad j=1, \ldots ,
%k.
\]

\bigskip

Introduciamo quindi $n$ variabili a valori
%discreti, $x_{i}$, per
indicare l'altezza scelta per la palazzina
%$i$, $i=1,\ldots,n$.  Tali
variabili sono definite nel seguente
%modo:
%
\[
x_{i}=\sum_{j=1}^{k} h_{j} y_{ij}, \quad \quad \quad
%\quad \quad i = 1,
\ldots,
n;
\]
%
con
%
\[
\sum_{j=1}^{k}
%y_{ij} = 1, \quad \quad \quad \quad \quad i = 1,
%\ldots,
n.
\]

Introduciamo ora due variabili ausiliarie, $w$ e
%$z$, per
stimare, rispettivamente per difetto e per eccesso,
%l'altezza minima e
l'altezza massima scelta dall'impresario per le
%palazzine.  Tali variabili
ausiliarie devono rispettare i seguenti
%vincoli:
%
\[
w \leq x_{i} \leq z, \quad \quad \quad i=1,\ldots ,
%n.
\]

Il vincolo di equilibrio urbanistico \`e allora esprimibile
%mediante: $z - w \leq \epsilon$.

Il vincolo relativo alle famiglie
%da ospitare pu\`o invece essere
espresso mediante:
%$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}\displaystyle{\sum_{j=1}^{k} }a_{ij}
%y_{ij} \geq \delta$.

La funzione obiettivo, da minimizzare, \`e
%data dal costo totale di
costruzione:
%$\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}}
c_{j}y_{ij}$.

La
%formulazione del problema \`e
%quindi
%
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{rrlll}
\min &
%\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}}
c_{j}y_{ij}
%\\ \\
      & \displaystyle{\sum_{j=1}^{k}} h_{j} y_{ij} -  x_{i} &
%= & 0& i =
1,\ldots, n
      \\ \\
      &
%\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}} y_{ij} & = & 1 & i = 1,\ldots, n
%\\ \\
      & x_{i} - w & \geq & 0 & i=1,\ldots , n \\ \\
      &
%x_{i} - z & \leq & 0 & i=1,\ldots , n \\ \\
      & z - w & \leq &
%\epsilon \\ \\
      &
%\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}}\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}} a_{ij}
%y_{ij} & \geq & \delta \\ \\
      & y_{ij} & \in & \{0,1\} &
%i=1,\ldots,n,\quad \quad j=1,\ldots ,
%k
\end{array}
\end{eqnarray*}
 

\end{document}
