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\pagestyle{myheadings}

\begin{document}

\noindent
Paolo e Francesca stanno programmando una gita in bicicletta al tramonto.
Paolo dice per telefono a Francesca che pu\`o fare la gita se il
fratello Lancillotto non si prende la bici, avendola in compropriet\`a.
Francesca gli risponde che lei pu\`o fare la gita se riesce a finire
di studiare Ricerca Operativa entro le 17 oppure se si libera da un
impegno del giorno successivo per completare lo studio di una materia
scientifica cos\`\i\ importante. Ovviamente la gita potr\`a avvenire se e
solo se entrambi gli attori sono disponibili. Se si effettuer\`a la gita 
Francesca dovr\`a gonfiare le gomme della sua bicicletta.
Formulare mediante delle relazioni lineari l'insieme delle relazioni
logiche descritte.

\hfill

\noindent {\bf SVOLGIMENTO}

\hfill 

\noindent
Consideriamo le proposizioni elementari: 

\hfill 

$g=$ ``la gita viene effettuata'', 

$s=$ ``Lancillotto prende la bicicletta'',

$f=$ ``Francesca finisce di studiare entro le 17'', 

$\ell=$ ``Francesca si libera dall'impegno del giorno successivo'', 

$r=$ ``Francesca gonfia le gomme della sua bicicletta''.

\hfill

Le relazioni logiche descritte nel testo sono pertanto: 
%
\begin{eqnarray}
\label{e:=}
& g & = (\lnot s) \land (f \lor \ell),\\
\label{e:imp}
& g & \Longrightarrow r. 
\end{eqnarray}

Siano $x(g), x(s), x(f), x(\ell)$ e $x(r)$ le variabili booleane corrispondenti. 

\hfill 

La relazione logica $z =( f \lor \ell)$ pu\`o essere espressa tramite i
vincoli: 
%
\begin{eqnarray*}
x(z) & \ge & x(f), \\ 
x(z) & \ge & x(\ell), \\ 
x(z) & \le & x(f)+x(\ell), 
\end{eqnarray*}
%
dove $x(z)$ \`e la variabile booleana corrispondente a $z$. 
Risulta inoltre $g = (\lnot s) \land z$. Ricordando che 
$x(\lnot s) = 1 - x(s)$, la relazione (\ref{e:=}) pu\`o essere espressa
tramite i vincoli: 
%
\begin{eqnarray*}
x(g) & \le & 1-x(s), \\ 
x(g) & \le & x(z), \\
x(g) & \ge & 1-x(s)+x(z)-1 = x(z)-x(s).
\end{eqnarray*}
 
La relazione (\ref{e:imp}) pu\`o essere espressa tramite il solo vincolo:
%
\begin{eqnarray*}
x(r) & \ge & x(g).
\end{eqnarray*}

Quindi la formulazione richiesta \`e data da: 
%
\[
\begin{array}{lll}
x(z) & \ge & x(f) \\ 
x(z) & \ge & x(\ell) \\ 
x(z) & \le & x(f)+x(\ell) \\
x(g) & \le & 1-x(s) \\
x(g) & \le & x(z) \\
x(g) & \ge & x(z)-x(s) \\
x(r) & \ge & x(g) 
\end{array}
\]
\vspace*{-4mm}
\[
\hspace*{0.2cm} x(g), x(s), x(f), x(\ell), x(r), x(z) \in \{0,1\}.
\] 

\end{document}
