\documentstyle[11pt,amssymb,italian]{article}
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\pagestyle{empty}
\linespread{1.2}

\begin{document} 

{\bf Soluzione esercizio 1.1.5} 

\noindent
Introduciamo $y_i$ come la variabile decisionale che vale 1 se l'
impianto di produzione \`e aperto nel mese $i$ (con $i=1,...,12$) e 
che vale 0 se l'impianto rimane chiuso; dobbiamo determinare la
quantit\`a $x_i$ di panettoni da produrre nel mese $i$ e denotiamo 
con $r_i$ la quantit\`a di panettoni immagazzinata alla fine del 
mese $i$. La funzione da minimizzare \`e ovviamente data dalla somma
dei costi di setup dell' impianto, dei costi di produzione e dei costi 
di immagazzinamento:  
$$ s \displaystyle{\sum_{i=1}^{12}} \ y_i +
c \displaystyle{\sum_{i=1}^{12}} \ x_i + 
p \displaystyle{\sum_{i=1}^{12}}  \ r_i.$$
Ovviamente la quantit\`a di panettoni in magazzino in ciascun mese
deve essere minore od uguale alla capacit\`a del magazzino a
disposizione in quel mese:
$$r_i \le m_i, \ \ \ \ i=1,...,12.$$
Inoltre, la quantit\`a in magazzino alla fine di un mese \`e uguale
alla somma della quantit\`a immagazzinata alla fine del mese
precedente e della quantit\`a prodotta nel mese corrente meno la
quantit\`a di panettoni immessi sul mercato:
\begin{equation}\label{a}
r_{i+1}=r_{i}+x_{i+1}-d_{i+1}, \ \ \ \ i=1,...,11
\end{equation}
dove 
$$r_{0} = r_{12} = 0$$ 
in quanto il magazzino \`e vuoto all' inizio dell' anno e
deve essere vuoto anche alla fine. Inoltre, \`e possibile 
produrre panettoni solo nei mesi in cui l' impianto \`e aperto:
$$x_i \le M y_{i}, \ \ \ \ i=1,...,12 $$
dove $M$ \`e una costante molto grande, ad esempio una qualsiasi 
ragionevole limitazione superiore per la produzione annuale di
panettoni; in realt\`a possiamo conoscere esattamente la produzione
annuale grazie ai vincoli (\ref{a}):
$$\begin{array}{ccl}
r_{12} & = & r_{11} + x_{12} - d_{12} = \\
       & = & r_{10} + x_{11} - d_{11}+ x_{12} - d_{12} = \\
       &   & \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \  \\
       & = & r_0 + \displaystyle{\sum_{i=1}^{12}} \ (x_i - d_i). 
\end{array}$$
Essendo $r_{0} = r_{12} = 0$, segue che 
$$\displaystyle{\sum_{i=1}^{12}} \ x_i = 
\displaystyle{\sum_{i=1}^{12}} \ d_i$$
ovvero la produzione annuale \`e fissata; possiamo quindi scegliere
$$ M = \displaystyle{\sum_{i=1}^{12}} \ d_i.$$
Imponendo che le quantit\`a di panettoni prodotte e le quantit\`a 
immagazzinate in ciascun mese siano non negative e che le prime siano 
numeri interi (non ha senso produrre frazioni di panettoni),  
la formulazione \`e cos\`\i\ completa:
$$\begin{array}{ll}
\min \ \ s \displaystyle{\sum_{i=1}^{12}} \ y_i +
c \displaystyle{\sum_{i=1}^{12}} \ x_i + 
p \displaystyle{\sum_{i=1}^{12}}  \ r_i & \\ 
                            \\ 
r_{0} = r_{12} = 0 & \\
r_i \le m_i & \hspace*{-10mm}i=1,...,11 \\ 
r_{i+1}=r_{i}+x_{i+1}-d_{i+1} & \hspace*{-10mm}i=0,...,11 \\
x_i \le M y_{i} & \hspace*{-10mm}i=1,...,12 \\
x_i \ge 0 & \hspace*{-10mm}i=1,...,12 \\
r_i \ge 0 & \hspace*{-10mm}i=1,...,11 \\ 
x_{i} \in {\mathbb{Z}} & \hspace*{-10mm}i=1,...,12. 
\end{array}$$

\end{document}

